余弦定理的三种证明方法通用6篇
怎么证明余弦定理 篇一
在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b
则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
面试问题
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。 qzm4
过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 求职面试
由勾股定理得： 礼仪
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 面试网
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 求职面试
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
因为cosC=CD/b 礼仪
所以CD=b*cosC
面试问题
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 求职信息
题目中^2表示平方。
求职信息
2 求职信息
谈正、余弦定理的多种证法
聊城二中 魏清泉 面试问题
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法。人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的。数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合。
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则
(1)(正弦定理) = = ; qzm4
(2)(余弦定理) 求职信息
c2=a2+b2-2abcos C, 求职信息
b2=a2+c2-2accos B, 求职面试
a2=b2+c2-2bccos A. qzm4
一、正弦定理的证明
礼仪
证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有
求职信息
AD=bsin∠BCA， 求职信息
BE=csin∠CAB， 礼仪
CF=asin∠ABC。 求职面试
所以S△ABC=abcsin∠BCA 面试问题
=bcsin∠CAB
=casin∠ABC. 求职信息
证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 礼仪
AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，
面试网
BE=asin∠BCA=csin∠CAB。
证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆
的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。
证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。
因为AB=AC+CB，
面试问题
所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB. 面试网
因为jAC=0，
礼仪
jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC， 面试问题
jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .
二、余弦定理的证明
法一：在△ABC中，已知 ，求c。 面试网
过A作 ，
在Rt 中， ， 面试网
法二： qzm4
，即： 面试网
法三： 面试问题
先证明如下等式：
⑴
面试网
证明： 礼仪
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得
结合⑴、 有
即 .
面试网
同理可证
面试网
.
礼仪
三、正余弦定理的统一证明 求职面试
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， 求职信息
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B). 礼仪
根据向量的运算： 求职信息
=(-acos B,asin B)， 面试问题
= - =(bcos A-c,bsin A), 求职面试
(1)由 = ：得 求职面试
asin B=bsin A,即
面试问题
= . 求职面试
同理可得： = . 求职面试
∴ = = .
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A， 面试问题
又| |=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A.
面试问题
同理：
礼仪
c2=a2+b2-2abcos C; 求职面试
b2=a2+c2-2accos B. 面试网
法二：如图5， 求职信息
,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ，将上式的两边分别与 、 作数量积，可知 面试问题
， 礼仪
即
将(1)式改写为 求职信息
化简得b2-a2-c2=-2accos B.
即b2=a2+c2-2accos B.(4) 求职信息
这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理。
求职信息
参考文献：
【1】孟燕平？抓住特征，灵活转换？数学通报第11期。 礼仪
【2】《中学生数学》(上)3月上
【3】《数学(必修5)》人民教育出版社
求职面试
用余弦定理证明 篇二
三角形余弦定理的公式： 求职面试
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有： 求职信息
a2=b2+c2-bc·cosA
求职面试
b2=a2+c2-ac·cosB 求职信息
c2=a2+b2-ab·cosC 礼仪
也可表示为：
cosC=(a2+b2-c2)/ab 面试网
cosB=(a2+c2-b2)/ac
cosA=(c2+b2-a2)/bc
求职面试
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的`(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。 礼仪
三角形余弦定理的证明：
平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)
面试问题
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ) 面试问题
(以上粗体字符表示向量)
又∵Cos(π-θ)=-Cosθ 求职面试
∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)
再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC
即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
qzm4
同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。 礼仪
平面几何证法
在任意△ABC中
面试网
做AD⊥BC.
面试问题
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 求职信息
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 求职面试
根据勾股定理可得： 求职信息
AC2=AD2+DC2
礼仪
b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2
b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2 求职面试
b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2
qzm4
b2=c2+a2-2accosB 礼仪
cosB=(c2+a2-b2)/2ac
如何证明余弦定理 篇三
如何证明余弦定理
面试网
如何证明余弦定理三角形的正弦定理证明： qzm4
步骤1.
在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点H 礼仪
CH=a・sinB 求职信息
CH=b・sinA 求职面试
∴a・sinB=b・sinA
求职面试
得到 面试网
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中， 求职信息
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
礼仪
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D. 求职信息
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度 求职信息
因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C. 面试网
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 面试问题
a/SinA=BC/SinD=BD=2R 求职面试
类似可证其余两个等式。 面试问题
2
面试问题
在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 面试问题
则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 求职信息
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA 礼仪
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB qzm4
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
qzm4
过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 礼仪
由勾股定理得： 礼仪
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 qzm4
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 qzm4
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 qzm4
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
面试问题
=a^2+b^2-2a*CD 面试问题
因为cosC=CD/b
所以CD=b*cosC qzm4
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
题目中^2表示平方。
面试网
2
谈正、余弦定理的。多种证法
聊城二中 魏清泉
求职面试
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法。人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合。
求职面试
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则
(1)(正弦定理) = = ; 面试网
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcos C, 求职面试
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A. 求职信息
一、正弦定理的证明 礼仪
证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有
AD=bsin∠BCA，
BE=csin∠CAB，
求职信息
CF=asin∠ABC。
面试问题
所以S△ABC=abcsin∠BCA 面试问题
=bcsin∠CAB
面试网
=casin∠ABC. qzm4
证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 求职面试
AD=bsin∠BCA=csin∠ABC， 求职面试
BE=asin∠BCA=csin∠CAB。
证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆
求职信息
的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。 礼仪
证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。
因为AB=AC+CB， 面试网
所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.
因为jAC=0，
求职面试
jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，
求职面试
jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .
二、余弦定理的证明
法一：在△ABC中，已知 ，求c。 求职信息
过A作 ， 礼仪
在Rt 中， ， 礼仪
法二： 面试问题
，即： 面试网
法三： 求职信息
先证明如下等式： 面试网
⑴ 求职面试
证明： 求职信息
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得 求职面试
结合⑴、 有 礼仪
即 . qzm4
同理可证
求职面试
. qzm4
三、正余弦定理的统一证明
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， 礼仪
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).
根据向量的运算： 求职信息
=(-acos B,asin B)， 礼仪
= - =(bcos A-c,bsin A),
面试问题
(1)由 = ：得
asin B=bsin A,即 面试网
= .
同理可得： = . 礼仪
∴ = = .
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A， qzm4
又| |=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A.
同理： 求职面试
c2=a2+b2-2abcos C; qzm4
b2=a2+c2-2accos B. 面试问题
法二：如图5，
,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ，将上式的两边分别与 、 作数量积，可知 qzm4
，
礼仪
即
将(1)式改写为
面试网
化简得b2-a2-c2=-2accos B. 求职信息
即b2=a2+c2-2accos B.(4)
这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理。 求职面试
参考文献： 面试问题
【1】孟燕平？抓住特征，灵活转换？数学通报第11期。
【2】《中学生数学》(上)3月上
【3】《数学(必修5)》人民教育出版社
求职信息
垂心余弦定理证明 篇四
用余弦定理证明 面试问题
用余弦定理证明由正弦定理得cSinB=bSinC
礼仪
带入给定的式子得
SinC=SinB(1+2CosA)① qzm4
C+A+B=π②
将②带入①得 礼仪
Sin(π-A-B)=SinB+2SinBcosA
SinAcosB+SinBcosA=SinB+2SinBcosA
SinAcosB=SinB+SinBcosA
qzm4
Sin(A-B)=SinB
面试问题
所以A-B=B或∏-(A-B)=B(舍)
所以A=2B 礼仪
2 求职面试
在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b
则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 求职面试
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
面试网
过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a
由勾股定理得：
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 求职面试
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 qzm4
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
面试问题
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
qzm4
=a^2+b^2-2a*CD
因为cosC=CD/b 礼仪
所以CD=b*cosC qzm4
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 面试问题
题目中^2表示平方。
求职面试
2 求职面试
谈正、余弦定理的多种证法 qzm4
聊城二中 魏清泉 求职面试
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法。人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合。
求职面试
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则
(1)(正弦定理) = = ;
求职面试
(2)(余弦定理) 面试网
c2=a2+b2-2abcos C,
b2=a2+c2-2accos B,
求职面试
a2=b2+c2-2bccos A.
求职面试
一、正弦定理的'证明 qzm4
证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 礼仪
AD=bsin∠BCA，
BE=csin∠CAB， 求职信息
CF=asin∠ABC。
礼仪
所以S△ABC=abcsin∠BCA 求职信息
=bcsin∠CAB 礼仪
=casin∠ABC. 面试问题
证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 面试问题
AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，
求职面试
BE=asin∠BCA=csin∠CAB。 qzm4
证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 qzm4
的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。 qzm4
证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。 面试问题
因为AB=AC+CB，
所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.
求职信息
因为jAC=0，
jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC， qzm4
jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA . 求职面试
二、余弦定理的证明
法一：在△ABC中，已知 ，求c。
过A作 ，
在Rt 中， ， 求职面试
法二： 面试网
，即： qzm4
法三：
先证明如下等式：
求职信息
⑴ 求职信息
证明： 求职面试
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得
结合⑴、 有 求职面试
即 .
同理可证
求职面试
. 面试问题
三、正余弦定理的统一证明 求职面试
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， 礼仪
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).
qzm4
根据向量的运算： 面试问题
=(-acos B,asin B)，
求职面试
= - =(bcos A-c,bsin A),
面试问题
(1)由 = ：得
礼仪
asin B=bsin A,即 求职面试
= . 求职信息
同理可得： = .
∴ = = . 面试问题
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，
又| |=a, 求职信息
∴a2=b2+c2-2bccos A. 求职信息
同理：
qzm4
c2=a2+b2-2abcos C;
b2=a2+c2-2accos B. 求职信息
法二：如图5，
,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ，将上式的两边分别与 、 作数量积，可知
， 礼仪
即 求职面试
将(1)式改写为 面试网
化简得b2-a2-c2=-2accos B. 礼仪
即b2=a2+c2-2accos B.(4) 求职面试
这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理。 qzm4
参考文献： 面试问题
【1】孟燕平？抓住特征，灵活转换？数学通报20第11期。 求职面试
【2】《中学生数学》(上)203月上 求职信息
【3】《数学(必修5)》人民教育出版社 面试网
余弦定理的证明 篇五
用复数证明余弦定理
qzm4
用复数证明余弦定理法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， 礼仪
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).
求职面试
根据向量的运算：
=(-acos B,asin B)， 面试网
= - =(bcos A-c,bsin A), 面试网
(1)由 = ：得 礼仪
asin B=bsin A,即
qzm4
= .
礼仪
同理可得： = . qzm4
∴ = = .
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A， 面试问题
又| |=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A.
同理：
c2=a2+b2-2abcos C; 面试问题
b2=a2+c2-2accos B.
面试网
法二：如图5， qzm4
,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ，将上式的两边分别与 、 作数量积，可知
，
即 面试问题
将(1)式改写为 qzm4
化简得b2-a2-c2=-2accos B.
礼仪
即b2=a2+c2-2accos B.(4)
这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理。
面试网
2
求职面试
在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b
则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 面试网
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
面试问题
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
qzm4
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
qzm4
过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a 面试问题
由勾股定理得：
qzm4
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2
求职信息
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 qzm4
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
礼仪
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
qzm4
因为cosC=CD/b qzm4
所以CD=b*cosC qzm4
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 求职面试
题目中^2表示平方。 qzm4
2 礼仪
谈正、余弦定理的多种证法
聊城二中 魏清泉
面试网
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法。人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的。巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合。
qzm4
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则
礼仪
(1)(正弦定理) = = ; 面试问题
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcos C,
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A. 礼仪
一、正弦定理的证明 qzm4
证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有
qzm4
AD=bsin∠BCA，
BE=csin∠CAB，
CF=asin∠ABC。 求职信息
所以S△ABC=abcsin∠BCA 礼仪
=bcsin∠CAB
=casin∠ABC. qzm4
证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 面试问题
AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，
qzm4
BE=asin∠BCA=csin∠CAB。
证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 礼仪
的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。 面试问题
证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。 qzm4
因为AB=AC+CB，
所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB. 面试问题
因为jAC=0，
qzm4
jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC， qzm4
jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .
求职面试
二、余弦定理的证明 面试网
法一：在△ABC中，已知 ，求c。
过A作 ， 礼仪
在Rt 中， ，
面试网
法二：
，即：
求职面试
法三： 面试网
先证明如下等式： 面试问题
⑴
求职面试
证明：
求职面试
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得 礼仪
结合⑴、 有
即 .
同理可证 求职面试
.
三、正余弦定理的统一证明
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B， 面试问题
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B). 求职面试
根据向量的运算： 面试问题
=(-acos B,asin B)，
= - =(bcos A-c,bsin A), 求职面试
(1)由 = ：得 求职信息
asin B=bsin A,即 求职面试
= . 面试问题
同理可得： = .
面试问题
∴ = = .
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，
面试问题
又| |=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A. qzm4
同理：
c2=a2+b2-2abcos C; 求职信息
b2=a2+c2-2accos B.
法二：如图5， 面试网
,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ，将上式的两边分别与 、 作数量积，可知
面试问题
， 礼仪
即
将(1)式改写为
化简得b2-a2-c2=-2accos B. 面试问题
即b2=a2+c2-2accos B.(4) 礼仪
这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理。 求职信息
余弦定理证明 篇六
垂心余弦定理证明
qzm4
如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA). qzm4
现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB . 求职面试
而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，
qzm4
根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C)，asin(π-C)) 面试网
即 D点坐标是(-acosC，asinC), 面试问题
∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB 求职信息
∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA)
∴ asinC = csinA …………① 求职信息
-acosC = ccosA-b ……②
由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ，
求职信息
∴ asinA = bsinB = csinC . 面试问题
由②得 acosC = b-ccosA ，平方得： 面试问题
a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ， 面试网
即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 礼仪
而由①可得 a2sin2C = c2sin2A
∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .
求职信息
同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ， 礼仪
c2 = a2 + b2-2abcosC . 礼仪
到此正弦定理和余弦定理证明完毕。 面试网
2 面试问题
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法。人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合。
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则 面试网
(1)(正弦定理) = = ; 礼仪
(2)(余弦定理) 求职面试
c2=a2+b2-2abcos C, 求职面试
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A.
一、正弦定理的证明 面试问题
证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有 礼仪
AD=bsin∠BCA， 求职面试
BE=csin∠CAB，
CF=asin∠ABC。
所以S△ABC=abcsin∠BCA 求职信息
=bcsin∠CAB
面试网
=casin∠ABC.
求职面试
证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有 求职信息
AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，
求职信息
BE=asin∠BCA=csin∠CAB。 礼仪
证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆 qzm4
的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。
qzm4
证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。 面试网
因为AB=AC+CB，
面试问题
所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB. 面试网
因为jAC=0，
面试网
jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，
jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .
qzm4
二、余弦定理的证明
qzm4
法一：在△ABC中，已知 ，求c。 面试网
过A作 ，
面试问题
在Rt 中， ， 求职面试
法二： qzm4
，即： 面试问题
法三： 求职面试
先证明如下等式：
求职信息
⑴ qzm4
证明： 面试网
故⑴式成立，再由正弦定理变形，得
结合⑴、 有
求职面试
即 .
同理可证
礼仪
. 礼仪
三、正余弦定理的统一证明
法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B). 求职面试
根据向量的运算：
qzm4
=(-acos B,asin B)，
= - =(bcos A-c,bsin A), qzm4
(1)由 = ：得
asin B=bsin A,即 面试问题
= . 礼仪
同理可得： = .
礼仪
∴ = = .
求职面试
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，
又| |=a,
qzm4
∴a2=b2+c2-2bccos A.
面试网
同理： 面试网
c2=a2+b2-2abcos C; 面试问题
b2=a2+c2-2accos B. 求职信息
法二：如图5，
礼仪
,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ，将上式的两边分别与 、 作数量积，可知 求职信息
，
即 求职面试
将(1)式改写为 求职信息
化简得b2-a2-c2=-2accos B.
即b2=a2+c2-2accos B.(4) 面试网
这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理。
面试问题
以上就是求职面试网为大家整理的6篇《余弦定理的三种证明方法》，希望对您的写作有所帮助。
声明：余弦定理的三种证明方法通用6篇来源于互联网，其版权均归原作者及其网站所有，本站虽力求保存原有的版权信息，但由于诸多原因，可能导致无法确定其真实来源，如果您对本站文章、图片资源的归属存有异议，请立即通知我们，情况属实，我们会第一时间予以删除，并同时向您表示歉意！